Производная
У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечности малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит, что это есть его точка зрения.
Д.Гильберт
Д.Гильберт
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций.
Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения Dy = y1 — y0 функции к приращению Dx = x1 – x0 аргумента при Dx, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается fў(x) или yў; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = yўdx, где dx = Dx — приращение аргумента x. Очевидно, что yў = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная fў(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают fўў(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) — функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = fўx называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = fўy, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы.
Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла a (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. fў(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.
Определение производной:
Правила дифференцирования:
Формулы дифференцирования:
Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения Dy = y1 — y0 функции к приращению Dx = x1 – x0 аргумента при Dx, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается fў(x) или yў; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = yўdx, где dx = Dx — приращение аргумента x. Очевидно, что yў = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная fў(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают fўў(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) — функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = fўx называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = fўy, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы.
Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла a (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. fў(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.
Определение производной:
Правила дифференцирования:
Формулы дифференцирования:
